Nonostante fosse stato in parte superata la forma di “pregiudizio” che gravava sull’infinito matematico, esso tardava in ogni modo ad essere accettato dai matematici; spesso e volentieri, argomentazioni intorno agli infiniti conducevano a risultati sconcertanti e contrari a qualsiasi logica (perfino che 0=1!). Ancora forte era la tendenza a relegarli in un canto facendo finta che non esistessero, o a dichiararli direttamente inesistenti. Fu un uomo, nell’Ottocento, a dissipare una simile confusione ed incertezza, Georg Cantor. La sua teoria, con estrema chiarezza, andava a giustificare tutte quelle spiacevoli ambiguità in cui ci si era imbattuti fino a quel momento e, così, a spalancare le porte dell’infinito matematico una volta per tutte. Naturalmente, incontrò l’ostinatissima opposizione di molti, e ciò lo fece scivolare in un.

Infiniti numerabili: Cantor definì numerabile un infinito che potesse essere posto in corrispondenza biunivoca (per esemplificare questo concetto, potremmo paragonarlo agli armadietti numerati che vengono assegnati agli studenti: ad ogni studente corrisponde un armadietto ben preciso) con la successione dei numeri naturali. Per esempio i numeri pari sono numerabilmente infiniti (come illustrato dalla figura), così come i dispari.

Tutti gli infiniti numerabili possiedono la stessa cardinalità, ossia la stessa “grandezza”, “dimensione”, “numerosità”. Questi infiniti, per Cantor, sono attuali, più precisamente sono gli infiniti minimi che possono esistere. Per indicarli, adoperò la prima lettera dell’alfabeto ebraico, aleph con zero, , il primo numero cardinale transfinito (così venne definito dallo stesso Cantor). Da ciò deriva la cosiddetta “diagonale di Cantor”, con la quale il matematico dimostrò che anche l’insieme di tutte le frazioni ottenute dividendo un numero intero per un altro, come 7/8, ad esempio, è un infinito numerabile. Le conclusioni sono sorprendenti: contrariamente a quanto si potrebbe pensare, cioè che l’insieme delle frazioni sia più numeroso di quello dei numeri interi, il numero delle frazioni è uguale a quello dei numeri singoli! Dunque tutti gli infiniti considerati nell’antichità erano infiniti numerabili. Ma ce ne sono di altri.

Secondo questo schema, numeratore e denominatore di ogni riga hanno la stessa somma (per 1/1 la somma è per numeratore e denominatore 2; per 2/1 e 1/2 la somma è sempre 3; per 3/1, 2/2 e 1/3 la somma è sempre 4; etc.).

Infiniti non numerabili: Cantor riuscì poi a dimostrare come siano possibili infiniti più grandi dei numerabili, appunto i “non numerabili”. I decimali (che comprendono gli irrazionali, o comunque numeri dalle cifre illimitate, i numeri periodici, e pertanto non possono essere scritti sotto forma di frazioni) non possono essere circoscritti alla stregua dei numeri pari e dispari, ad esempio: sono un infinito non numerabile. Il genio di Cantor riuscì a dimostrare ciò con una dimostrazione per assurdo. In conclusione, i decimali sono un insieme infinitamente maggiore di quello dei numerabili, ossia dei naturali, delle frazioni. Quindi, il “continuo”, di cui sopra, venne indicato con il simbolo , ed è anch’esso definito numero transfinito. Cantor credeva inoltre che non esistesse un infinito maggiore di  e minore di , senza però riuscire mai a dimostrarlo.

La scoperta di Cantor di infiniti di differente ordine di grandezza, ben distinguibili, fu qualcosa di rivoluzionario nella storia della matematica. Egli, in seguito scoprì che gli infiniti non solo sono numerabili, ma anche insuperabili. Non poteva esistere un “infinito più grande di tutti”, l'”infinito più infinito” che potesse ritenere tutti gli altri. Per provare ciò, Cantor aveva bisogno di dimostrare l’esistenza matematica (in matematica il concetto di “esistenza” non implica l’esistenza concreta, fisica, ma semplicemente una rigorosa coerenza logica) di questa successione interminabile di infiniti: era necessario prendere in considerazione l'”insieme potenza”, ovvero l’insieme che contiene tutti i sottoinsiemi di un determinato insieme infinito, nel nostro caso: se l’insieme di partenza ha n membri, i membri dell’insieme potenza avranno 2ⁿ elementi.

Da uomo di grande fede, Cantor era persuaso che l'”infinito assoluto” appartenesse esclusivamente a Dio. Era Dio a capeggiare la “gerarchia” degli infiniti infiniti; tuttavia questo infinito risultava inafferrabile per la mente umana.

Queste straordinarie idee, sicuramente frutto di una sconfinata immaginazione, oltre che di un altrettanto notevole genio, non tardarono ad essere accettate anche dai matematici, sfortunatamente soltanto in seguito alla triste morte del loro concepitore.

“L’infinito potenziale ha solo una realtà presa a prestito, dato che un concetto di infinito potenziale rimanda sempre a un concetto che lo procede logicamente e ne garantisce l’esistenza”.

Georg Cantor