“Gli alberghi sono posti indimenticabili. […] L’anonimato viene protetto e la vita viene assorbita dai numeri: i numeri delle stanze, i numeri dei piani, i prefissi telefonici, gli orari di colazione e di partenza, gli orari dei taxi collettivi, i numeri per la connessione a Internet, i numeri delle carte di credito all’arrivo e al momento di pagare, il numero delle bottiglie d’acqua prelevate dal minibar, i tassi di cambio e un conto di entità astronomica alla partenza…su questo si può contare. Ciliegina sulla torta, dappertutto ci sono specchi che riflettono l’uno nell’altro immagini a perdita d’occhio. Quale posto migliore per sguinzagliare l’infinito?”

John David Barrow

Il paradosso dell’albergo dell’infinito è senz’altro un aneddoto interessante, che esprime in modo piuttosto semplice alcune peculiarità dell’infinito, e le differenze fra operazioni con insiemi finiti e quelle con insiemi infiniti.

Pare che questo racconto sia stato erroneamente attribuito al matematico David Hilbert, e fu divulgato dal suo stretto collaboratore Richard Courant.

In un ordinario hotel c’è un numero finito di camere disponibili, cosicché non è possibile alloggiarvi se tutte le stanze sono occupate. È un ragionamento che appare logico e naturale, tuttavia scopriremo che all’albergo dell’infinito l’impossibile diventa possibile…

Immaginiamo che un vacanziere si rechi all’albergo dell’infinito. In reception viene a sapere che le stanze, che sono infinite (esse sono numerate 1, 2, 3, …), sono già tutte prenotate. Come trovare una soluzione, dunque? Non c’è problema: è sufficiente spostare l’ospite della stanza numero 1 nella numero 2, l’ospite della 2 nella 3, e così via dicendo, all’infinito. Pertanto, la stanza numero 1 sarà disponibile, e nessuno dovrà rinunciare ad avere una camera.

E se l’ospite consigliasse l’hotel ai suoi amici, cosicché, verificandosi un infinito passaparola, si presentasse all’hotel un numero infinito di ospiti? L’albergo, come al solito, è al completo. Anche in questo caso, però, non si pongono problemi: il cliente della stanza 1 viene spostato nella stanza 2, quello della 2 nella 4, quello della 3 nella 6, etc. In questo modo tutte le stanze dispari sono libere, e ce ne sono infinite, quanti sono i nuovi arrivati!

L’unico punto debole dell’albergo, come lamentano alcuni ospiti, è la lieve lentezza del servizio di ristorazione… Il problema è però che, oltre agli infiniti tempi di attesa, gli ospiti delle camere pari devono subire anche la seccatura di dover cambiare continuamente camera: essi decidono di andarsene, tutti assieme. Che disastro però, per il direttore dell’albergo, dover presentare le statistiche sul livello di occupazione dell’hotel, pari al 50%! Per correre ai ripari, e non rischiare la chiusura, gli ospiti rimasti vengono riavvicinati tra loro (il cliente della numero 1 rimarrà dov’è, quello della 3 verrà spostato nella 2, quello della 5 nella tre, quello della 7 nella 4, …). Con questo ingegnoso sistema tutte le stanze saranno piene, anche se la  clientela risulta dimezzata.

In seguito, sfortunatamente, i proprietari dell’albergo, che posseggono infiniti altri hotel, decidono di fare dei consistenti tagli alle spese per gli stipendi dell’infinito personale e degli infiniti direttori. Il nostro albergo, per via dei meriti recentemente guadagnati grazie all’ingegno, è l’unico a restare aperto: ciò comporta però che tutti gli ospiti degli infiniti alberghi chiusi debbano essere trasferiti in questo albergo. La sfida è più ardua che mai: occorre liberare camere per clienti provenienti da infiniti alberghi, ciascuno dei quali è infinitamente numeroso…

L’intero personale è mobilitato allo scopo di venire a capo di questa critica situazione. Finalmente, un fattorino propone la seguente soluzione: il cliente della camera 1 rimarrà dove si trova; quello della 2 sarà trasferito nella 1001, quello della 3 nella 2001, quello della 4 nella 3001, etc. etc. I clienti dell’hotel 2 saranno collocati nelle camere numero 1002, 2002, 3002, etc; i clienti dell’hotel 3, invece, nelle camere 1003, 2003, 3003, etc. Tuttavia, il receptionist si rende conto che i clienti dell’albergo 1001 non saprebbero dove andare, giacché le stanze sarebbero state occupate dai clienti dei primi 1000 alberghi.  Il tempo stringe. Inefficace è anche la possibilità di porre i clienti dell’albergo 1 nelle camere numerate con le potenze di 2 (2, 4, 8, 16, …) , quelli dell’albergo 2 in quelle numerate con le potenze di 3 (3, 9, 27, 81, …), etc., in quanto alcune stanze dovrebbero poi ospitare più di un cliente (ad esempio la stanza 16, con il quarto cliente dell’albergo 1 e il secondo dell’albergo 3).

Dopo una serie di infiniti tentativi, sembra profilarsi la soluzione giusta: assegnare ad ogni persona una coppia di numeri (n,m) in cui n denota il numero dell’albergo di provenienza, e m il numero della relativa camera. Ecco come il direttore schematizza la soluzione:

Per l’assegnazione delle camere, si procede prima di tutto dal quadrato 2×2 in alto a sinistra, nel seguente modo:

Dopodiché si passerà al quadrato 3×3:

Tutti sono entusiasti. I clienti incominciano ad arrivare proprio in questo momento. Ci sarà posto per tutti, e inoltre nessuna stanza rimarrà vuota: il livello di occupazione è di nuovo al 100%!

Questa storiella è in grado di esemplificare in maniera piuttosto semplice la sostanziale differenza tra insiemi finiti ed infiniti, senza contare i numerosi collegamenti con l’analisi non-standard e l’aritmetica transfinita. Infatti, la soluzione trovata per collocare gli infiniti clienti provenienti da infiniti hotel è analoga a quella fornita da Cantor per dimostrare che la “numerosità” dell’insieme dei numeri razionali è pari a quella dell’insieme dei numeri interi (cfr la “diagonale di Cantor“).

Tra i vari libri che propongono una narrazione del paradosso, ricordiamo “L’hotel straordinario“ di Stanisław Lem (disponibile in pdf) e “Uno, due, tre…infinito“, di George Gamow.

Concludiamo con una poesia ispirata dal paradosso dell’albergo dell’infinito:

“Hotel Infinity”

“On a dark desert highway—not much scenery
Except this long hotel stretchin’ far as I could see.
Neon sign in front read ‘‘No Vacancy,’’
But it was late and I was tired, so I went inside to plea.
The clerk said, ‘‘No problem. Here’s what can be done—
We’ll move those in a room to the next higher one.
That will free up the first room and that’s where you can
stay.’’
I tried understanding that as I heard him say:
CHORUS: ‘‘Welcome to the HOTEL called INFINITY—
Where every room is full (every room is full)
Yet there’s room for more.
Yeah, plenty of room at the HOTEL called INFINITY—
Move ‘em down the floor (move’ em down the floor)
To make room for more.’’
I’d just gotten settled, I’d finally unpacked
When I saw 8 more cars pull into the back.
I had to move to room 9; others moved up 8 rooms as well.
Never more will I confuse a Hilton with a Hilbert Hotel!
My mind got more twisted when I saw a bus without end
With an infinite number of riders coming up to check in.
‘‘Relax,’’ said the nightman. ‘‘Here’s what we’ll do:
Move to the double of your room number:
That frees the odd-numbered rooms.’’
(Repeat Chorus)
Last thing I remember at the end of my stay—
It was time to pay the bill but I had no means to pay.
The man in 19 smiled, ‘‘Your bill is on me.
20 pays mine, and so on, so you get yours for free!’’”

Lawrence Mark Lesser

 

 

 

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