“Noi sappiamo che c’è un infinito e ne ignoriamo la natura. Poiché sappiamo che è falso che i numeri sono finiti, è vero dunque che c’è un infinito nel numero. Ma non sappiamo che cosa è”.

Blaise Pascal

Come si è visto nel precedente articolo, la civiltà greca non riuscì ad accettare il concetto di infinito, in particolare in ambito matematico, tentando in ogni modo di esorcizzarlo. Non mancarono certo i tentativi di riconciliazione, tuttavia essi furono pregiudicati dalla consapevolezza degli spinosi problemi che i paradossi di Zenone erano in grado di originare.

In generale, con l’avvento del Cristianesimo, e con la diffusione del monoteismo, l’idea dell’infinito non rimase a lungo così invisa. Sant’Agostino, ad esempio, sosteneva che quanto è infinito per l’uomo appare finito agli occhi di Dio. Nel Rinascimento, gli attributi assegnati a Dio erano in primis l’essere e l’infinità. Non senza qualche sottile criticità, si tendeva a far coincidere Dio stesso con l’infinito. O meglio, per non rischiare di giungere alla conclusione che Dio fosse finito, qualora si fosse riusciti a circoscrivere l’infinito, i teologi non facevano coincidere Dio con l’infinito in senso essenziale e stretto. Naturalmente, ciò non voleva dire che Dio fosse finito, ma semplicemente consentiva di esulare le sorti dell’infinito, qualora fosse stato “imbrigliato” nelle reti dei matematici, dalla concezione di Dio, che così sarebbe rimasta intatta.

GALILEO: 

Galileo Galilei fu tra i primi a riuscire a valicare la barriera che pregiudicava un qualsiasi contatto tra l’uomo e l’infinito. In breve questo il suo pensiero: un qualunque oggetto limitato può essere ricondotto ad infiniti elementi privi di estensione e quindi indivisibili: se così non fosse, se queste parti fossero dotate di estensione, sarebbero anche divisibili, e dunque come si spiegherebbe la limitatezza del segmento?

La conclusione a cui pervenne Galileo attraverso il cosiddetto “paradosso dei quadrati” è che non è possibile considerare l’infinito come i comuni numeri. Tuttavia è possibile effettuare un’operazione: si può, dati due insiemi infiniti, confrontarli e determinare se essi hanno lo stesso numero di elementi, creando una corrispondenza biunivoca tra l’uno e l’altro (dati due insiemi, A e B, si parla di corrispondenza biunivoca se  ad ogni elemento di A corrisponde uno ed uno solo elemento di B, e viceversa).

NEWTON E LEIBNIZ:

Con l’avvento del calcolo differenziale, la cui paternità fu a lungo oggetto di contesa tra Newton e Leibniz (qui, se siete interessati, potrete approfondire), l’infinito potenziale tornò in auge. Per distinguere gli infiniti dagli infinitesimi, si adoperarono due diverse notazioni, rispettivamente il simbolo ∞ e il simbolo dt.

DEDEKIND:

Grazie a Richard Dedekind, che studiò l’infinito potenziale, due fondamentali problemi furono risolti, ossia la questione degli irrazionali e quella del “continuo“.

Secondo Leibniz e Newton, la continuità dei punti di una retta si doveva far derivare dalla loro densità (si tratta della proprietà secondo la quale un ulteriore punto potrà sempre trovarsi tra altri due punti), e tale caratteristica apparteneva anche ai numeri razionali. Tuttavia, questi ultimi non costituivano un “continuo” (come suggerisce il nome, un “continuo” è un insieme in cui gli elementi si susseguono in maniera densa, ma senza alcuna interruzione, senza “buchi”), poiché tra essi potevano essere frapposti numeri non razionali; lo si può notare anche dalla sottostante figura:

Così, Dedekind escogitò un ingegnosissimo “stratagemma”, che avrebbe risolto in un’unica soluzione i due grandi problemi. Egli considerò numeri come ad esempio √2, anziché delle “interruzioni”, degli “intoppi”, come una sorta di “spartiacque” tra una “successione continua” di numeri razionali ed un’altra. Quindi, un numero irrazionale, che fa pur sempre parte dell’insieme dei numeri reali, definisce una “sezione“, detta appunto di Dedekind, in due insiemi, A e B, dove A è dato da tutti i razionali a tali che a<√2, e B è invece costituito da tutti i razionali b tali che b>√2 (per riassumere ulteriormente a<√2<b). In questo modo l’insieme dei numeri reali è visto come un’estensione dell’insieme dei razionali.

Rappresentazione dell’insieme dei numeri reali con i suoi sottoinsiemi

Grazie a questa inedita definizione non vi sarebbe più stato bisogno di ricorrere al concetto di densità per poter definire quello di continuità. Restava un’ultimo tassello da porre perché l’infinito entrasse a tutti gli effetti a far parte dell’universo matematico: il merito di ciò va tutto a Georg Cantor, alle cui straordinarie ricerche abbiamo dedicato la quarta parte.

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