“Noi sappiamo che c’è un infinito e ne ignoriamo la natura. Poiché sappiamo che è falso che i numeri sono finiti, è vero dunque che c’è un infinito nel numero. Ma non sappiamo che cosa è”.

Blaise Pascal

Come si è visto nel precedente articolo, la civiltà greca non riuscì ad accettare il concetto di infinito, in particolare in ambito matematico, tentando in ogni modo di esorcizzarlo. Non mancarono certo i tentativi di riconciliazione, tuttavia essi furono pregiudicati dalla consapevolezza dei fastidiosi problemi che i paradossi di Zenone erano in grado di originare.

In generale, con l’avvento del Cristianesimo, e con la diffusione del monoteismo, l’idea dell’infinito non fu più invisa. Sant’Agostino, ad esempio  sosteneva che quanto è infinito per l’uomo appare agli occhi di Dio finito. Nel Rinascimento, gli attributi assegnati a Dio erano in primis l’essere e l’infinità. Non senza qualche sottile criticità, si tendeva a far coincidere Dio stesso con l’infinito. O meglio, per non rischiare di giungere alla conclusione che Dio sia finito, qualora si fosse riusciti a circoscrivere l’infinito, i teologi non facevano coincidere Dio con l’infinito in senso essenziale e stretto. Naturalmente, ciò non voleva dire che Dio fosse finito, ma semplicemente consentiva di esulare le sorti dell’infinito, qualora fosse stato “imbrigliato” nelle reti dei matematici, dalla concezione di Dio, che così sarebbe rimasta intatta.

GALILEO: 

Galileo Galilei fu tra i primi a riuscire a valicare la barriera che pregiudicava un qualsiasi contatto tra l’uomo e l’infinito. In breve questo il suo pensiero: un qualunque oggetto limitato può essere ricondotto ad infiniti elementi privi di estensione e quindi indivisibili: se così non fosse, se queste parti fossero dotate di estensione, sarebbero anche divisibili, e dunque come si spiegherebbe la limitatezza del segmento?

La conclusione a cui perviene Galileo attraverso il cosiddetto “paradosso dei quadrati” è che non è possibile considerare l’infinito come i comuni numeri. Tuttavia è possibile effettuare un’operazione: si può, dati due insiemi infiniti, confrontarli e determinare se essi hanno lo stesso numero di elementi, creando una biezione tra l’uno e l’altro (dati due insiemi, A e B, si parla di corrispondenza biunivoca se  ad ogni elemento di A corrisponde uno ed uno solo elemento di B, e viceversa).

NEWTON E LIEBNIZ:

Con l’avvento del calcolo differenziale di Newton e Liebniz, l’infinito potenziale tornò in auge. Per distinguere gli infiniti dagli infinitesimi, adoperarono due diverse notazioni, rispettivamente il simbolo ∞ e il simbolo dt.

DEDEKIND:

Grazie a Richard Dedekind, che studiò l’infinito potenziale, due fondamentali problemi, ossia la questione degli irrazionali e quella del “continuo“.

Secondo Liebniz e Newton, la continuità dei punti di una retta si doveva far derivare dalla loro densità (proprietà secondo la quale un ulteriore punto potrà sempre trovarsi tra altri due punti), e tale caratteristica apparteneva anche ai numeri razionali. Tuttavia, questi ultimi non costituivano un “continuo” (come suggerisce il nome, un “continuo” è un insieme in cui gli elementi si susseguano in maniera densa, ma senza alcuna interruzione, senza “buchi”), poiché tra essi potevano essere frapposti numeri non razionali; lo si può notare anche dalla sottostante figura:

Proiezione sulla retta dei numeri della diagonale di un quadrato, che appunto corrisponde a √2, un numero irrazionale, e che dunque crea un’interruzione nella successione dei numeri razionali.

Così, Dedekind escogitò un ingegnosissimo “stratagemma”, che avrebbe risolto in un’unica soluzione i due grandi problemi. Egli considerò numeri come ad esempio √2, anziché delle “interruzioni”, degli “intoppi”, come una sorta di “spartiacque” tra una “successione continua” di numeri razionali ed un’altra. Quindi, un numero irrazionale, che fa pur sempre parte dell’insieme dei numeri reali, definisce una “sezione”, detta appunto di Dedekind in due insiemi, A e B, dove A è dato da tutti i razionali a tali che a<√2, e B è invece costituito da tutti i razionali b tali che b>√2 (per riassumere ulteriormente a<√2<b). In questo modo l’insieme dei numeri reali è visto come un’estensione dell’insieme dei razionali.

Rappresentazione degli insieme dei numeri reali con i suoi sottoinsiemi

Grazie a questa inedita definizione non vi sarebbe più stato bisogno di ricorrere al concetto di densità per poter definire a quello di continuità.